Задача 4. Выполните действия: а) x/(x + y) − 2y²/(y² − x²) − y/(x − y); б) m/(3m − 2n) − (3m² − 3mn)/(9m² − 12mn + 4n²); в) (2x + 1)/(x² − 6x + 9) − 8/(x² − 9) − (2x − 1)/(x² + 6x + 9).

а) Учитываем, что \(y^2-x^2=-(x-y)(x+y)\), и приводим к общему знаменателю: \[\dfrac{x}{x+y}-\dfrac{2y^2}{y^2-x^2}-\dfrac{y}{x-y}=\dfrac{x(x-y)+2y^2-y(x+y)}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x-y}{x+y}.\] Ограничение: \(x\ne y\) и \(x\ne-y\).

б) Обозначим общий знаменатель выражения через \((3m-2n)^2\): \[\dfrac{m}{3m-2n}-\dfrac{3m^2-3mn}{(3m-2n)^2}=\dfrac{m(3m-2n)-3m(m-n)}{(3m-2n)^2}=\dfrac{mn}{(3m-2n)^2}.\] Ограничение: \(3m-2n\ne0\).

в) Разложим знаменатели: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Тогда \[\dfrac{(2x+1)(x+3)^2-8(x^2-9)-(2x-1)(x-3)^2}{(x^2-9)^2}=\dfrac{18(x^2+5)}{(x^2-9)^2}.\] Ограничение: \(x\ne3,-3\).