Задача 8. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является натуральным числом: а) (12n² − 5n + 33)/n; б) (10 − 4n)/n.

Здесь \(n\) — натуральное число, поэтому \(n\ge1\).

а) \(\dfrac{12n^2-5n+33}{n}=12n-5+\dfrac{33}{n}\). Чтобы результат был целым, \(n\) должно быть натуральным делителем 33: \(n=1,3,11,33\). Для них значения выражения соответственно равны \(40,42,130,392\), все они натуральные.

б) \(\dfrac{10-4n}{n}=\dfrac{10}{n}-4\). Для целого результата \(n\) должно делить 10. Проверяем натуральные делители: при \(n=1\) значение равно 6, при \(n=2\) — 1, при \(n=5\) — \(-2\), при \(n=10\) — \(-3\). Натуральные значения получаются только при \(n=1,2\).

Ответ: а) \(n=1,3,11,33\); б) \(n=1,2\).