Задача 5. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A₁, M ∈ B₁C₁ и N ∈ DD₁, и найти линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.

Проведём построение следов секущей плоскости. Положение M и N на рёбрах не задано, поэтому результат можно описать конструктивно, но нельзя определить точный порядок всех вершин сечения.

1. На верхней грани проведём A₁M и продолжим эту прямую до пересечения с прямой D₁C₁; получим P.
2. На правой грани CC₁D₁D проведём MN и продолжим до пересечения с CD или его продолжением; получим Q.
3. Прямая A₁P задаёт направление следа секущей плоскости на верхнем основании. Нижнее основание параллельно верхнему, поэтому искомая линия пересечения плоскости с нижним основанием проходит через точку пересечения следа с боковой гранью и параллельна A₁P.
4. Если эта линия пересекает ребро основания AD, обозначим точку пересечения T. Тогда линию пересечения с плоскостью нижнего основания можно построить как прямую через T, параллельную A₁P; при необходимости отметить её часть, лежащую внутри основания.

Ответ: линия пересечения с плоскостью нижнего основания параллельна A₁M; её положение определяется продолжением следов плоскости на боковых гранях.