Задача 6. Дано: ABCD — параллелограмм; AK — биссектриса ∠A; BK : KC = 2 : 1; P_ABCD = 50 см. Найти: AB; BC; CD; ∠A.

По теореме о биссектрисе треугольника ABC: \(BK:KC=AB:AC=2:1\). Пусть \(AB=x\), \(BC=y\). Так как \(BK:KC=2:1\), то \(BK=\frac{2}{3}y\).

Поскольку \(AB\parallel CD\), а \(AK\) — биссектриса угла между AB и AD, из равенства соответствующих углов в треугольнике ABK следует \(BK=AB\). Поэтому \(x=\frac{2}{3}y\).

Периметр даёт \(2(x+y)=50\), то есть \(x+y=25\). Подставляем: \(\frac{2}{3}y+y=25\), откуда \(y=15\) см и \(x=10\) см. Следовательно, \(CD=AB=10\) см.

Угол A по этим данным однозначно не определяется: соотношение сторон и условие о биссектрисе выполняются при разных величинах угла A. Например, можно выбрать любой угол A между 0° и 180° и построить параллелограмм со сторонами 10 см и 15 см; биссектриса пересечёт BC так, что BK:KC=2:1.

Ответ: AB = CD = 10 см; BC = 15 см; величину ∠A определить нельзя по данным условия.