Задача 7.7. В ряд выписали дроби 1/1, 1/2, 1/3, …, 1/1000. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на 77²?

Общий знаменатель равен \(L=\operatorname{НОК}(1,2,\ldots,1000)\). Числитель дроби \(1/k\) равен \(L/k\).

В разложении \(L\) степени простых 7 и 11 равны: \(v_7(L)=4\), \(v_{11}(L)=2\). Числитель делится на \(7^2\cdot11^2=77^2\), если \(k\) не содержит множитель \(7^3\) и не делится на 11.

Значит, числитель не делится на \(77^2\), если \(k\) кратно \(7^3=343\) или кратно 11.

Таких чисел: \(\lfloor1000/343\rfloor+\lfloor1000/11\rfloor=2+90=92\). Пересечений нет, поскольку \(343\cdot11>1000\).

Ответ: 92.