Задача 7.8. Царство гномов состоит из 20 кланов по 100 гномов. Каждый гном входит только в один клан. Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может быть в царстве?

Разобьем кланы по величине их среднего роста.

Чтобы гном считался высоким, он должен быть выше средних значений как минимум 10 других кланов. Максимум достигается, если 10 кланов имеют одинаковый большой рост, а остальные 10 — меньший. Тогда каждый гном из 10 «высоких» кланов выше средних значений всех 10 низких кланов.

Количество таких гномов: \(10\cdot100=1000\).

Больше получить нельзя: для 11 полностью высоких кланов каждому гному пришлось бы быть выше средних значений как минимум 10 кланов, что невозможно одновременно для всех 11 средних значений.

Ответ: 1000 гномов.