Задача 7. Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, которая является серединой каждого из них. Докажите, что треугольники ABC и DBE равны. Найдите стороны и углы треугольника DBE, если AB = 6 см, BC = 4 см, ∠ABC = 112°.

Так как B — середина AE и DC, то AB = BE и BC = BD. Углы ∠ABC и ∠DBE вертикальные, поэтому равны. Следовательно, △ABC = △EBD по двум сторонам и углу между ними. Отсюда △DBE = △CBA: DB = BC, BE = BA, а DE = CA.

Значит, DB = 4 см, BE = 6 см, а ∠DBE = 112°. Для нахождения DE применим теорему косинусов к △ABC:
AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos ∠ABC = 6² + 4² − 2 · 6 · 4 · cos 112°.
AC ≈ 8,50 см, следовательно, DE ≈ 8,50 см.

Углы при основании: ∠BDE = ∠BCA ≈ 43,3°, ∠BED = ∠BAC ≈ 24,7° (их сумма равна 180° − 112° = 68°).

Ответ: DB = 4 см, BE = 6 см, DE ≈ 8,50 см; ∠DBE = 112°, ∠BDE ≈ 43,3°, ∠BED ≈ 24,7°.