Задание 2.1. 6. Дан треугольник ABC. На стороне BC расположена точка M так, что |BM|:|MC|=2. Найти \(\overrightarrow{AM}\), если \(\overrightarrow{AB}\)=\(\overrightarrow\) b, \(\overrightarrow{AC}\)=\(\overrightarrow\) a.

Так как \(BM:MC=2:1\), точка \(M\) делит отрезок \(BC\) в отношении \(2:1\), считая от \(B\). Поэтому \(\overrightarrow{BM}=\frac23\overrightarrow{BC}\).

\[\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\mathbf a-\mathbf b.\]

Тогда

\[\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\mathbf b+\frac23(\mathbf a-\mathbf b)=\frac13\mathbf b+\frac23\mathbf a.\]

Ответ: \(\overrightarrow{AM}=\frac23\mathbf a+\frac13\mathbf b\).