Задание 3. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 64°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Касательные к окружности в точках А и В пересекаются под углом 64°.

Найти:

• Угол АВО

Решение:

1. Свойства касательных: Радиусы OA и OB, проведенные к точкам касания, перпендикулярны касательным. То есть, угол OAB = 90° и угол OBA = 90°.
2. Свойства равнобедренного треугольника: Треугольник OAB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности).
3. Угол АОВ: В четырехугольнике, образованном точками касания А и В, центром О и точкой пересечения касательных (назовем её P), сумма углов равна 360°. Угол APB = 64°. Угол OAP = 90°, Угол OBP = 90°.
   Угол AOB = 360° - 90° - 90° - 64° = 122°.
4. Угол АВО: В треугольнике OAB, OA = OB. Угол OAB = Угол OBA. Так как сумма углов в треугольнике 180°:

Угол OAB + Угол OBA + Угол AOB = 180°

2 * Угол OBA + 122° = 180°

2 * Угол OBA = 180° - 122°

2 * Угол OBA = 58°

Угол OBA = 58° / 2 = 29°

Ответ: 29