Задание 8. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N - середина стороны CD. Докажите, что AN - биссектриса угла BAD.

Дано:

• Параллелограмм ABCD
• CD = 2 * AD
• N - середина CD

Доказать:

• AN - биссектриса угла BAD

Доказательство:

1. Свойства параллелограмма: AB = CD, AD = BC, AB || CD, AD || BC.
2. Так как CD = 2 * AD и N - середина CD: Тогда CN = ND = CD / 2 = (2 * AD) / 2 = AD.
3. Рассмотрим треугольник ADN:
   Так как AD || BC, то AD || CN (так как N лежит на CD).
   Также, так как AD = BC, и N - середина CD, то ND = AD.
4. Рассмотрим треугольник ADN:
   AD = ND (из пункта 2).
   Следовательно, треугольник ADN - равнобедренный.
5. Углы при основании равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике ADN, углы при основании AD равны. Это означает, что угол NAD = угол BND.
6. Смежные углы: Угол BND и угол AND являются смежными, их сумма равна 180°.
7. Параллельность AD и BC: Так как AD || CD, то угол BCD = угол ADC.
8. Рассмотрим углы:
   В равнобедренном треугольнике ADN, угол NAD = угол NDA.
9. Используем свойство параллельных прямых:
   Так как AD || CD, то накрест лежащие углы при секущей AN равны.
   Значит, угол DAN = угол CNA.
10. Сравним углы:
    Мы имеем: угол NAD = угол NDA (в равнобедренном треугольнике ADN).
    Также, угол NAD = угол CNA (накрест лежащие углы при AD || CD и секущей AN).
    Из этого следует, что угол CNA = угол NDA.
11. Рассмотрим углы при основании AD:
    В треугольнике ADN, угол NAD = угол NDA.
12. Сопоставим с биссектрисой:
    Так как угол DAN = угол CNA, и угол DNA = угол DAN, то угол DAN = угол CNA = угол NDA.
13. Что и требовалось доказать: Так как угол DAN равен углу CNA, и AN делит угол BAD, то AN является биссектрисой угла BAD.

Доказано.