7. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x – y = 2 и 2y – x = 1 и параллельной графику уравнения 3(x – y + 1) = x – 2(y + 5).

Решение:

1. Найдем точку пересечения прямых \(3x - y = 2\) и \(2y - x = 1\):
   • Выразим y из первого уравнения: \(y = 3x - 2\)
   • Подставим во второе уравнение: \(2(3x - 2) - x = 1\)
   • Решим уравнение: \(6x - 4 - x = 1\)
   • \(5x = 5\)
   • \(x = 1\)
   • Найдем y: \(y = 3 \cdot 1 - 2 = 1\)
   • Точка пересечения: \((1, 1)\)
2. Определим угловой коэффициент параллельной прямой, преобразуем уравнение \(3(x - y + 1) = x - 2(y + 5)\):
   • Раскроем скобки: \(3x - 3y + 3 = x - 2y - 10\)
   • Перенесем все члены в одну сторону: \(2x - y + 13 = 0\)
   • Выразим y: \(y = 2x + 13\)
   • Угловой коэффициент: \(k = 2\)
3. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку \((1, 1)\) с угловым коэффициентом \(k = 2\):
   • \(y - y_1 = k(x - x_1)\)
   • \(y - 1 = 2(x - 1)\)
   • \(y - 1 = 2x - 2\)
   • \(y = 2x - 1\)

Ответ: \(y = 2x - 1\)

Проверка за 10 секунд: Убедись, что полученная прямая параллельна заданной и проходит через точку пересечения исходных прямых.

Читерский прием: Чтобы быстро найти угловой коэффициент прямой, приведи уравнение к виду \(y = kx + b\).