15. \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} – 3 = 0

15. Решим уравнение $$\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} - 3 = 0$$.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{3x^2}{x^2} = 0$$

$$\frac{1 + 2x - 3x^2}{x^2} = 0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

$$1 + 2x - 3x^2 = 0$$

$$-3x^2 + 2x + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1 = 4 + 12 = 16$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 + 4}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 - 4}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1$$

Ответ: $$x = -\frac{1}{3}; x = 1$$