21. x² – 6x + √6 – x = √6 – x + 7

21. Решим уравнение $$x^2 - 6x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x + 7}$$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(x^2 - 6x + \sqrt{6 - x})^2 = (\sqrt{6 - x + 7})^2$$

К сожалению, решить данное уравнение в рамках школьной программы не представляется возможным, так как в левой части уравнения при возведении в квадрат получается сложное выражение.

Предположим, что в правой части уравнения опечатка и должно быть $$x^2 - 6x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 7$$.

Перенесем слагаемые, содержащие корень, в одну часть уравнения, а остальные - в другую:

$$\sqrt{6 - x} - \sqrt{6 - x} = 7 - x^2 + 6x$$

$$0 = 7 - x^2 + 6x$$

$$x^2 - 6x - 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Проверим корни, подставив их в исходное уравнение:

Если $$x = 7$$, то под корнем будет отрицательное число, что недопустимо.

Если $$x = -1$$, то

$$(-1)^2 - 6(-1) + \sqrt{6 - (-1)} = \sqrt{6 - (-1)} + 7$$

$$1 + 6 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 7$$

$$7 + \sqrt{7} = \sqrt{7} + 7$$

Следовательно, корнем уравнения является $$x = -1$$.

Ответ: $$x = -1$$