52) $$\frac{3}{x^{2}+4x}-\frac{15}{x^{2}-4x}=\frac{4}{x}$$

Для решения уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю и упростить выражение.

Разложим знаменатели:

$$x^2 + 4x = x(x + 4)$$ $$x^2 - 4x = x(x - 4)$$

Приведем дроби к общему знаменателю $$x(x - 4)(x + 4)$$:

$$\frac{3(x-4)}{x(x+4)(x-4)} - \frac{15(x+4)}{x(x-4)(x+4)} = \frac{4(x-4)(x+4)}{x(x-4)(x+4)}$$

Упростим числители:

$$3(x - 4) - 15(x + 4) = 4(x^2 - 16)$$ $$3x - 12 - 15x - 60 = 4x^2 - 64$$ $$-12x - 72 = 4x^2 - 64$$

Перенесем все в правую часть:

$$4x^2 + 12x + 8 = 0$$

Разделим на 4:

$$x^2 + 3x + 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни на допустимость. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x
eq 0, x
eq 4, x
eq -4$$

Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: -1; -2