48) $$\frac{2x}{3x-1}-\frac{x}{3x+1}=\frac{9-3x^{2}}{9x^{2}-1}$$

Решим уравнение:

Разложим знаменатель правой части:

$$9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)$$

Приведем дроби к общему знаменателю $$(3x - 1)(3x + 1)$$:

$$\frac{2x(3x+1)}{(3x-1)(3x+1)} - \frac{x(3x-1)}{(3x+1)(3x-1)} = \frac{9-3x^{2}}{(3x-1)(3x+1)}$$

Упростим числители:

$$2x(3x + 1) - x(3x - 1) = 9 - 3x^2$$ $$6x^2 + 2x - 3x^2 + x = 9 - 3x^2$$ $$3x^2 + 3x = 9 - 3x^2$$

Перенесем все в левую часть:

$$6x^2 + 3x - 9 = 0$$

Разделим на 3:

$$2x^2 + x - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5$$

Проверим корни на допустимость. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$3x - 1
eq 0 \Rightarrow x
eq \frac{1}{3}$$ $$3x + 1
eq 0 \Rightarrow x
eq -\frac{1}{3}$$

Оба корня удовлетворяют условию.

Ответ: 1; -1.5