46) $$\frac{x}{x+2}+\frac{x+2}{x-2}=\frac{8}{x^{2}-4}$$

Для решения уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю и упростить выражение.

Разложим знаменатель в правой части:

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

Приведем дроби к общему знаменателю $$(x - 2)(x + 2)$$:

$$\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x+2)(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{8}{(x-2)(x+2)}$$

Упростим числители:

$$x(x - 2) + (x + 2)^2 = 8$$ $$x^2 - 2x + x^2 + 4x + 4 = 8$$ $$2x^2 + 2x + 4 = 8$$

Перенесем все в левую часть:

$$2x^2 + 2x - 4 = 0$$

Разделим на 2:

$$x^2 + x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Проверим корни на допустимость. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x
eq 2, x
eq -2$$

Корень $$x_2 = -2$$ не удовлетворяет условию. Следовательно, $$x = 1$$

Ответ: 1