9) {10^(1+lg(x+y)) = 50 lg(x + y) + lg(x - y) = 2 – lg 5'

Разбираемся:

Давай решим эту систему уравнений. Логика такая: сначала упростим уравнения, используя свойства логарифмов, а затем решим систему.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

   \( 10^{1 + \lg(x+y)} = 50 \) можно переписать как \( 10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 50 \), что дает \( 10(x+y) = 50 \), или \( x + y = 5 \).

2. Преобразуем второе уравнение:

   \( \lg(x+y) + \lg(x-y) = 2 - \lg 5 \) можно переписать как \( \lg((x+y)(x-y)) = \lg 100 - \lg 5 \), что дает \( \lg(x^2 - y^2) = \lg (\frac{100}{5}) = \lg 20 \). Таким образом, \( x^2 - y^2 = 20 \).

3. Решаем систему уравнений:

   Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 - y^2 = 20 \end{cases} \]

4. Раскладываем второе уравнение:

   \( x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = 20 \). Подставим \( x+y = 5 \), тогда \( 5(x-y) = 20 \), значит \( x - y = 4 \).

5. Решаем новую систему уравнений:

   Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 4 \end{cases} \]

6. Складываем уравнения:

   Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от \( y \): \( (x + y) + (x - y) = 5 + 4 \), что дает \( 2x = 9 \).

7. Находим x:

   Разделим обе части на 2: \( x = \frac{9}{2} = 4.5 \).

8. Находим y:

   Теперь подставим значение \( x \) в одно из уравнений, например, в \( x + y = 5 \): \( 4.5 + y = 5 \), тогда \( y = 5 - 4.5 = 0.5 \).

Ответ: (4.5; 0.5)