6) {log₁/₃ x + log₁/₃ y = 2 log₁/₃ x - log₁/₃ y = 4'

Разбираемся:

Давай решим эту систему уравнений. Логика такая: сначала упростим уравнения, используя свойства логарифмов, а затем решим полученную систему.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

   Используем свойство логарифмов: \( \log_{1/3} x + \log_{1/3} y = \log_{1/3} (xy) \). Тогда уравнение \( \log_{1/3} x + \log_{1/3} y = 2 \) можно переписать как \( \log_{1/3} (xy) = 2 \), то есть \( xy = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \).

2. Преобразуем второе уравнение:

   Используем свойство логарифмов: \( \log_{1/3} x - \log_{1/3} y = \log_{1/3} (\frac{x}{y}) \). Тогда уравнение \( \log_{1/3} x - \log_{1/3} y = 4 \) можно переписать как \( \log_{1/3} (\frac{x}{y}) = 4 \), то есть \( \frac{x}{y} = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81} \).

3. Решаем систему уравнений:

   Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} xy = \frac{1}{9} \\ \frac{x}{y} = \frac{1}{81} \end{cases} \]

4. Выражаем x через y:

   Из второго уравнения выразим \( x \) через \( y \): \( x = \frac{y}{81} \).

5. Подставляем в уравнение:

   Подставим это выражение в первое уравнение: \( \frac{y}{81} \cdot y = \frac{1}{9} \), что дает \( y^2 = \frac{81}{9} = 9 \).

6. Находим y:

   Тогда \( y = \sqrt{9} = 3 \) или \( y = -3 \). Так как логарифм определен только для положительных значений, то \( y = 3 \).

7. Находим x:

   Теперь найдем \( x \): \( x = \frac{3}{81} = \frac{1}{27} \).

Ответ: (1/27; 3)