7) {lg(x² + y²) = 1 + lg 13 lg(x + y) = lg(x - y) + lg 8'

Разбираемся:

Давай решим эту систему уравнений. Логика такая: сначала упростим уравнения, используя свойства логарифмов, а затем решим систему.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

   \( \lg(x^2 + y^2) = 1 + \lg 13 \) можно переписать как \( \lg(x^2 + y^2) = \lg 10 + \lg 13 \), что дает \( \lg(x^2 + y^2) = \lg (10 \cdot 13) = \lg 130 \). Таким образом, \( x^2 + y^2 = 130 \).

2. Преобразуем второе уравнение:

   \( \lg(x + y) = \lg(x - y) + \lg 8 \) можно переписать как \( \lg(x + y) = \lg(8(x - y)) \). Таким образом, \( x + y = 8(x - y) \), что дает \( x + y = 8x - 8y \) или \( 7x = 9y \), то есть \( x = \frac{9}{7}y \).

3. Решаем систему уравнений:

   Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 130 \\ x = \frac{9}{7}y \end{cases} \]

4. Подставляем x в первое уравнение:

   Подставим \( x = \frac{9}{7}y \) в первое уравнение: \( (\frac{9}{7}y)^2 + y^2 = 130 \), что дает \( \frac{81}{49}y^2 + y^2 = 130 \), или \( \frac{81}{49}y^2 + \frac{49}{49}y^2 = \frac{130 \cdot 49}{49} \), то есть \( 130y^2 = 130 \cdot 49 \).

5. Находим y:

   Тогда \( y^2 = 49 \), значит \( y = 7 \) или \( y = -7 \).

6. Находим x:

   Если \( y = 7 \), то \( x = \frac{9}{7} \cdot 7 = 9 \). Если \( y = -7 \), то \( x = \frac{9}{7} \cdot (-7) = -9 \).

7. Проверяем решения:

   Так как в уравнениях есть \( \lg(x+y) \) и \( \lg(x-y) \), то необходимо, чтобы \( x+y > 0 \) и \( x-y > 0 \). Для \( (9; 7) \) \( x+y = 16 > 0 \) и \( x-y = 2 > 0 \). Для \( (-9; -7) \) \( x+y = -16 < 0 \) и \( x-y = -2 < 0 \), что не подходит.

Ответ: (9; 7)