5) {lg(x² + y²) = 2 log₄₈ x + log₄₈ y = 1'

Разбираемся:

Давай решим эту систему уравнений. Логика такая: сначала преобразуем уравнения, используя свойства логарифмов, а затем решим систему.

Пошаговое решение:

1. Преобразуем первое уравнение:

   Используем определение логарифма: \( \lg (x^2 + y^2) = 2 \) означает, что \( x^2 + y^2 = 10^2 = 100 \).

2. Преобразуем второе уравнение:

   Используем свойство логарифмов: \( \log_{48} x + \log_{48} y = \log_{48} (xy) \). Тогда уравнение \( \log_{48} x + \log_{48} y = 1 \) можно переписать как \( \log_{48} (xy) = 1 \), то есть \( xy = 48^1 = 48 \).

3. Решаем систему уравнений:

   Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 100 \\ xy = 48 \end{cases} \]

4. Выражаем (x+y)² и (x-y)²:

   Найдём \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) + 2(xy) = 100 + 2(48) = 100 + 96 = 196 \), значит \( x+y = \sqrt{196} = 14 \) или \( x+y = -14 \).

   И \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2(xy) = 100 - 2(48) = 100 - 96 = 4 \), значит \( x-y = \sqrt{4} = 2 \) или \( x-y = -2 \).

5. Решаем системы линейных уравнений:

   Рассмотрим варианты: \begin{itemize}

6. \( x + y = 14 \) \( x - y = 2 \) Складываем уравнения: \( 2x = 16 \), \( x = 8 \). Тогда \( y = 14 - 8 = 6 \).

7. \( x + y = 14 \) \( x - y = -2 \) Складываем уравнения: \( 2x = 12 \), \( x = 6 \). Тогда \( y = 14 - 6 = 8 \).

8. \( x + y = -14 \) \( x - y = 2 \) Складываем уравнения: \( 2x = -12 \), \( x = -6 \). Тогда \( y = -14 + 6 = -8 \).

9. \( x + y = -14 \) \( x - y = -2 \) Складываем уравнения: \( 2x = -16 \), \( x = -8 \). Тогда \( y = -14 + 8 = -6 \).

\end{itemize}
10. Проверяем решения:

    Так как логарифм существует только для положительных чисел, остаются только первые два варианта.

Ответ: (8; 6) и (6; 8)