Чтобы проанализировать функцию $$y = x^2 - 8x + 13$$, давайте сначала найдем ее вершину. Координата x вершины параболы задается формулой $$x_v = -b/2a$$. В нашем случае a=1 и b=-8. Значит $$x_v = -(-8)/2*1 = 8/2 = 4$$. Найдем координату y вершины, подставив $$x_v$$ в уравнение функции: $$y_v = 4^2 - 8*4 + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$$. Итак, вершина параболы находится в точке (4, -3). Теперь мы можем ответить на вопросы, опираясь на эти данные и построив график:
а) **Значение y при x = 1.5:** Подставим $$x=1.5$$ в уравнение $$y=(1.5)^2 - 8(1.5) + 13 = 2.25 - 12 + 13 = 3.25$$. Таким образом, $$y(1.5) = 3.25$$.
б) **Значения x, при которых y = 2:** Подставим $$y=2$$ в уравнение и решим уравнение $$x^2 - 8x + 13 = 2$$
$$x^2 - 8x + 11 = 0$$
$$D = (-8)^2 - 4*1*11= 64 - 44 = 20$$
$$x_1 = (8 + \sqrt{20})/2 = (8 + 2\sqrt{5})/2 = 4 + \sqrt{5}$$
$$x_2 = (8 - \sqrt{20})/2 = (8 - 2\sqrt{5})/2 = 4 - \sqrt{5}$$
$$x_1 \approx 6.23$$, $$x_2 \approx 1.77$$. Таким образом, при $$y=2$$ значения x приблизительно равны 1.77 и 6.23.
в) **Нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0:**
Чтобы найти нули функции, надо решить уравнение $$x^2 - 8x + 13 = 0$$.
$$D = (-8)^2 - 4*1*13= 64 - 52 = 12$$
$$x_1 = (8 + \sqrt{12})/2 = (8 + 2\sqrt{3})/2 = 4 + \sqrt{3}$$
$$x_2 = (8 - \sqrt{12})/2 = (8 - 2\sqrt{3})/2 = 4 - \sqrt{3}$$.
Нули функции: $$x_1 \approx 5.73$$ и $$x_2 \approx 2.27$$.
$$y>0$$ когда $$x \in (-\infty, 4 - \sqrt{3}) \cup (4+\sqrt{3}, +\infty)$$ или приблизительно $$x \in (-\infty, 2.27) \cup (5.73, +\infty)$$
$$y<0$$ когда $$x \in (4 - \sqrt{3}, 4 + \sqrt{3})$$ или приблизительно $$x \in (2.27, 5.73)$$.
г) **Промежуток, в котором функция убывает:**
Так как парабола имеет ветви, направленные вверх, функция убывает до вершины параболы, т.е. на промежутке $$x \in (-\infty, 4)$$.
**Ответ:**
а) Значение $$y$$ при $$x=1.5$$ равно 3.25
б) Значения $$x$$, при которых $$y=2$$, приближенно равны 1.77 и 6.23
в) Нули функции: приблизительно 2.27 и 5.73. Функция положительна $$x \in (-\infty, 2.27) \cup (5.73, +\infty)$$, отрицательна $$x \in (2.27, 5.73)$$
г) Функция убывает на промежутке $$(-\infty, 4)$$