4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{4}x^2$$ и прямая $$y = 5x - 16$$. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{4}x^2$$ и прямая $$y = 5x - 16$$, нужно приравнять их уравнения и решить получившееся квадратное уравнение: $$\frac{1}{4}x^2 = 5x - 16$$ Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 = 20x - 64$$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 - 20x + 64 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = (-20)^2 - 4 * 1 * 64 = 400 - 256 = 144$$ Так как дискриминант $$D > 0$$, то уравнение имеет два различных решения. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{144}}{2*1} = \frac{20 + 12}{2} = 16$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{144}}{2*1} = \frac{20 - 12}{2} = 4$$ Теперь найдем соответствующие значения $$y$$, подставив найденные значения x в уравнение прямой $$y = 5x - 16$$: $$y_1 = 5 * 16 - 16 = 80 - 16 = 64$$ $$y_2 = 5 * 4 - 16 = 20 - 16 = 4$$ Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках: (16, 64) и (4, 4). Ответ: Точки пересечения: (4, 4) и (16, 64).