4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{5}x^2$$ и прямая $$y = 20 - 3x$$. Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $$y = \frac{1}{5}x^2$$ и прямая $$y = 20 - 3x$$, нужно приравнять их уравнения и решить получившееся квадратное уравнение: $$\frac{1}{5}x^2 = 20 - 3x$$ Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби: $$x^2 = 100 - 15x$$ Перенесем все члены в левую часть уравнения: $$x^2 + 15x - 100 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = (15)^2 - 4 * 1 * (-100) = 225 + 400 = 625$$ Так как дискриминант $$D > 0$$, то уравнение имеет два различных решения. Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + \sqrt{625}}{2*1} = \frac{-15 + 25}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - \sqrt{625}}{2*1} = \frac{-15 - 25}{2} = -20$$ Теперь найдем соответствующие значения $$y$$, подставив найденные значения x в уравнение прямой $$y = 20 - 3x$$: $$y_1 = 20 - 3 * 5 = 20 - 15 = 5$$ $$y_2 = 20 - 3 * (-20) = 20 + 60 = 80$$ Таким образом, парабола и прямая пересекаются в двух точках: (5, 5) и (-20, 80). Ответ: Точки пересечения: (5, 5) и (-20, 80).