№4. Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР = 18, а сторона ВС в 1,2 раза меньше стороны АВ.

По условию, точки K, P, B, и C лежат на одной окружности. Значит, четырёхугольник \(KBCP\) вписанный. По свойству вписанного четырёхугольника, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Следовательно, \(\angle AKP = \angle ABC\). Таким образом, треугольники \(\triangle AKP\) и \(\triangle ABC\) подобны по двум углам (\(\angle A\) - общий, \(\angle AKP = \angle ABC\)). Из подобия треугольников следует: \(\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}\) Известно, что \(BC = \frac{AB}{1.2}\). Подставим это в предыдущее уравнение: \(\frac{KP}{\frac{AB}{1.2}} = \frac{AP}{AB}\) \(KP = \frac{AP}{AB} \cdot \frac{AB}{1.2}\) \(KP = \frac{AP}{1.2}\) Подставим \(AP = 18\): \(KP = \frac{18}{1.2} = 15\) **Ответ:** \(KP = 15\)