№2. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 17.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Бернулли:

$$P(k, n) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$, где:

• $$P(k, n)$$ - вероятность того, что в n испытаниях будет ровно k успехов
• $$C_n^k$$ - число сочетаний из n по k
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании
• $$n$$ - количество испытаний
• $$k$$ - количество успехов

В нашей задаче:

• $$n = 20$$ (количество выстрелов)
• $$p = 0,9$$ (вероятность поражения цели при одном выстреле)

Нам нужно найти вероятность того, что число удачных выстрелов будет не менее 16 и не более 17, то есть $$P(16 \le k \le 17)$$. Это можно найти как сумму вероятностей для $$k = 16$$ и $$k = 17$$.

1. Найдем вероятность для $$k = 16$$:

$$P(16, 20) = C_{20}^{16} * (0.9)^{16} * (0.1)^{4}$$

$$C_{20}^{16} = \frac{20!}{16! * (20-16)!} = \frac{20!}{16! * 4!} = \frac{20 * 19 * 18 * 17}{4 * 3 * 2 * 1} = 4845$$

$$P(16, 20) = 4845 * (0.9)^{16} * (0.1)^{4} \approx 4845 * 0.1853 * 0.0001 \approx 0.0898$$

2. Найдем вероятность для $$k = 17$$:

$$P(17, 20) = C_{20}^{17} * (0.9)^{17} * (0.1)^{3}$$

$$C_{20}^{17} = \frac{20!}{17! * (20-17)!} = \frac{20!}{17! * 3!} = \frac{20 * 19 * 18}{3 * 2 * 1} = 1140$$

$$P(17, 20) = 1140 * (0.9)^{17} * (0.1)^{3} \approx 1140 * 0.1668 * 0.001 \approx 0.1900$$

3. Сложим вероятности:

$$P(16 \le k \le 17) = P(16, 20) + P(17, 20) \approx 0.0898 + 0.1900 \approx 0.2798$$

Ответ: 0.2798