№4. В урне 25 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

В данной задаче имеем дело с схемой Бернулли, где испытания независимы, и вероятность успеха (вынуть белый шар) одинакова для каждого испытания.

Всего в урне 25 белых и 5 черных шаров, то есть 30 шаров.

Вероятность вынуть белый шар: $$p = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$

Вероятность вынуть черный шар: $$q = 1 - p = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$$

Нам нужно найти вероятность того, что из 4 вынутых шаров окажется ровно 2 белых. Воспользуемся формулой Бернулли:

$$P(k, n) = C_n^k * p^k * q^{n-k}$$, где:

• $$n$$ - количество испытаний (в нашем случае 4)
• $$k$$ - количество успехов (в нашем случае 2 белых шара)
• $$p$$ - вероятность успеха (вынуть белый шар)
• $$q$$ - вероятность неудачи (вынуть черный шар)
• $$C_n^k$$ - число сочетаний из n по k

Подставляем значения:

$$n = 4$$

$$k = 2$$

$$p = \frac{5}{6}$$

$$q = \frac{1}{6}$$

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 * 3}{2 * 1} = 6$$

$$P(2, 4) = 6 * (\frac{5}{6})^2 * (\frac{1}{6})^2 = 6 * \frac{25}{36} * \frac{1}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \approx 0.1157$$

Ответ: 0.1157