0.34. Пифагор теоремасын пайдаланып, Герон формуласын дәлелдеңдер.

Үшбұрыш қабырғаларын \(a,b,c\), жарты периметрін \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\), биіктігін \(h\) деп алайық. Биіктік табанды \(x\) және \(c-x\) бөліктеріне бөлсін.

1. Пифагор теоремасы бойынша:
   \(b^2=h^2+x^2\),
   \(a^2=h^2+(c-x)^2\).
2. Осы теңдіктерден \(x=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2c}\).
3. Үшбұрыш ауданы \(S=\dfrac{ch}{2}\), сондықтан \(4S^2=c^2h^2\).
4. Пифагор теоремасын түрлендірсек:
   \(16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\).
5. Төрт көбейткішті \(p\) арқылы жазамыз:
   \(a+b+c=2p\), \(-a+b+c=2(p-a)\), \(a-b+c=2(p-b)\), \(a+b-c=2(p-c)\).

Сонда \(16S^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)\), демек

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]