0.40. P нүктесі — ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP = φ теңдігін қанағаттандыратындай ABC үшбұрышының ішкі нүктесі. tgφ-ді үшбұрыштың ауданы мен оның қабырғалары арқылы өрнектеңдер.

Үшбұрыштың қабырғаларын \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\), ауданын \(S\) деп белгілейік.

1. \(P\) нүктесі үшбұрышты үш бөлікке бөледі: \(\triangle ABP\), \(\triangle BCP\), \(\triangle CAP\).
2. Берілген бұрыштар бойынша олардың аудандары қосындысының өрнегі алынады.
3. Үшбұрыштың бұрыштары мен қабырғалары үшін косинустар теоремасын қолданып, түрлендіргенде:
   \(\cot\varphi=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\).
4. Кері шаманы алсақ:

\[\tan\varphi=\frac{4S}{a^2+b^2+c^2}.\]

Жауап: \(\displaystyle g\varphi=\frac{4S}{a^2+b^2+c^2}\).