1.159. Вычислите:

Решение:

а) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{1}{7}\right)^{-2}\)

Используем свойство \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\):

\[ \left(\frac{3}{2}\right)^{2} + \left(\frac{7}{1}\right)^{2} = \frac{3^2}{2^2} + 7^2 = \frac{9}{4} + 49 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{9}{4} + \frac{49 \cdot 4}{4} = \frac{9 + 196}{4} = \frac{205}{4} \]

Ответ: \(\frac{205}{4}\).

б) \((2^{-1} - 3^{-1} \cdot 6)^{-1}\)

Вычислим в скобках:

\[ 2^{-1} = \frac{1}{2} \]

\(3^{-1} = \frac{1}{3}\)

\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{1}{2} - \frac{6}{3} = \frac{1}{2} - 2 \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \]

Теперь возведем в степень \(-1\):

\[ \left(-\frac{3}{2}\right)^{-1} = -\frac{2}{3} \]

Ответ: \(-\frac{2}{3}\).

в) \(\left(\frac{1}{6}\right)^{-2} + 6^{-3} : 36^{-2} - 0,6^0\)

Преобразуем десятичную дробь и степени:

\(0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

\(\left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^2 = 36\)

\(36^{-2} = (6^2)^{-2} = 6^{-4}\)

\(0,6^0 = 1\)

\[ 36 + 6^{-3} : 6^{-4} - 1 \]

Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\[ 36 + 6^{-3 - (-4)} - 1 = 36 + 6^{-3+4} - 1 = 36 + 6^1 - 1 \]

\(36 + 6 - 1 = 42 - 1 = 41\)

Ответ: 41.

г) \(\frac{2^{-2} \cdot 5^2 - 25}{10^{-2}}\)

Вычислим числитель:

\(2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}\)

\(5^2 = 25\)

\(\frac{1}{4} \cdot 25 - 25 = \frac{25}{4} - 25\)

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{25}{4} - \frac{100}{4} = -\frac{75}{4} \]

Теперь вычислим знаменатель:

\(10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}\)

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[ \frac{-\frac{75}{4}}{\frac{1}{100}} = -\frac{75}{4} \cdot \frac{100}{1} = -75 \cdot \frac{100}{4} = -75 \cdot 25 \]

\(-75 \cdot 25 = -1875\)

Ответ: -1875.