д) \((-1\frac{7}{9}) ^{-8} \cdot ((0,75) ^{-3})^5\)

Решение:

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:

\(0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

\(-1\frac{7}{9} = -\frac{9}{9} - \frac{7}{9} = -\frac{16}{9}\)

Теперь подставим значения в выражение:

\[ \left(-\frac{16}{9}\right)^{-8} \cdot \left(\left(\frac{3}{4}\right)^{-3}\right)^5 \]

Используем свойство степени \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\):

\[ \left(-\frac{16}{9}\right)^{-8} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-15} \]

Заметим, что \(\frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2\) и \(\frac{3}{4} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\).

Подставим это в выражение:

\[ \left(-\left(\frac{4}{3}\right)^2\right)^{-8} \cdot \left(\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}\right)^{-15} \]

Применим свойство степени \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) и \((-a)^n = a^n\) при четном \(n\):

\[ \left(\frac{4}{3}\right)^{16} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{15} \]

Используем свойство степени \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\):

\[ \left(\frac{4}{3}\right)^{16+15} = \left(\frac{4}{3}\right)^{31} \]

Ответ: \(\( \frac{4}{3} \)^{31}\).