1.8.8. Камень брошен со скоростью 20 м/с под углом 60 градусов к горизонту. Через какое минимальное время вектор скорости камня будет составлять с горизонтом угол 45 градусов? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Найдём проекции начальной скорости на оси ОХ и ОУ.

\( v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = 20 \cdot \cos(60^{\circ}) = 20 \cdot 0.5 = 10 \text{ м/с} \)

\( v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) = 20 \cdot \sin(60^{\circ}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \text{ м/с} \)

Скорость камня в любой момент времени \( t \) определяется как:

\( v_x(t) = v_{0x} = 10 \text{ м/с} \)

\( v_y(t) = v_{0y} - gt = 10\sqrt{3} - gt \)

Угол \( \beta \) между вектором скорости и горизонтом в момент времени \( t \) определяется как:

\( \tan(\beta) = \frac{v_y(t)}{v_x(t)} \)

По условию, \( \beta = 45^{\circ} \), \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), \( g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \).

\( 1 = \frac{10\sqrt{3} - gt}{10} \)

\( 10 = 10\sqrt{3} - gt \)

\( gt = 10\sqrt{3} - 10 \)

\( t = \frac{10(\sqrt{3} - 1)}{g} = \frac{10(1.732 - 1)}{9.8} = \frac{10 \cdot 0.732}{9.8} = \frac{7.32}{9.8} \approx 0.747 \text{ с} \)

Ответ: ≈ 0.75 с.