1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 5°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с его сторонами углы \(\angle ABD = 5^\circ\) и \(\angle BDC = 65^\circ\).

Так как AB || DC, то \(\angle ABD = \angle BDC\) как накрест лежащие углы. В условии сказано, что углы равны 65° и 5°, что противоречит этому свойству.

Предположим, что диагональ BD образует с сторонами AB и BC углы 65° и 5°. Тогда \(\angle ABD = 65^\circ\) и \(\angle DBC = 5^\circ\).

Углы параллелограмма прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

\(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 65^\circ + 5^\circ = 70^\circ\).

Меньший угол параллелограмма — это \(\angle ABC\), который равен 70°.

Если же углы, которые диагональ BD образует со сторонами, это \(\angle ADB = 65^\circ\) и \(\angle DBC = 5^\circ\).

Так как AD || BC, то \(\angle ADB = \angle DBC = 5^\circ\) как накрест лежащие углы. Это противоречит условию, что один из углов равен 65°.

Если же углы, которые диагональ BD образует со сторонами, это \(\angle ADB = 5^\circ\) и \(\angle BDC = 65^\circ\).

Так как AB || DC, то \(\angle ABD = \angle BDC = 65^\circ\) как накрест лежащие углы.

\(\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ\).

\(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC\).

\(\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 5^\circ + 65^\circ = 70^\circ\).

Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°.

\(\angle DAB = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

\(\angle ABC = \angle ADC = 70^\circ\) (противоположные углы равны).

Таким образом, углы параллелограмма равны 70° и 110°. Меньший угол равен 70°.

Ответ: 70