3. В треугольнике АВC: ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВА". Найдите АН.

Решение:

В треугольнике ABC проведена медиана BM и высота BH.

Дано: \( AC = 84 \), \( BC = BA \).

Так как \( BC = BA \), треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Следовательно, BM является высотой, то есть \( BM \perp AC \).

Но по условию BH — высота, значит, точка H совпадает с точкой M.

Таким образом, M — середина AC, и \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 84 = 42 \).

Так как H совпадает с M, то \( AH = AM = 42 \).

Ответ: 42