1. Решить неравенство: $$\frac{24-6x^2}{2x+9} \leq 0$$

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{24-6x^2}{2x+9} \leq 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

Числитель: \(24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)

Знаменатель: \(2x + 9 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -9 \Rightarrow x \neq -4.5\)

Отметим точки \(-4.5, -2, 2\) на числовой оси и определим знаки выражений в интервалах:

• \(x < -4.5\): Например, \(x = -5\). \(\frac{24 - 6(-5)^2}{2(-5)+9} = \frac{24 - 150}{-10+9} = \frac{-126}{-1} = 126 > 0\)
• \(-4.5 < x \leq -2\): Например, \(x = -3\). \(\frac{24 - 6(-3)^2}{2(-3)+9} = \frac{24 - 54}{-6+9} = \frac{-30}{3} = -10 < 0\)
• \(-2 \leq x < 2\): Например, \(x = 0\). \(\frac{24 - 6(0)^2}{2(0)+9} = \frac{24}{9} > 0\)
• \(x \geq 2\): Например, \(x = 3\). \(\frac{24 - 6(3)^2}{2(3)+9} = \frac{24 - 54}{6+9} = \frac{-30}{15} = -2 < 0\)

Неравенство \(\leq 0\) выполняется на интервалах \((-4.5, -2]\) и \([2, \infty)\).

Ответ: \(x \in (-4.5; -2] \cup [2; \infty)\).