2. Найти значение производной функции: $$f(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{6})$$ в точке $$x_0 = \frac{\pi}{12}$$.

Решение:

Сначала найдём производную функции \(f(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{6})\).

Используем правило производной сложной функции: \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\).

Производная \(\sin(u)\) равна \(\cos(u)\), а производная \(4x - \frac{\pi}{6}\) равна \(4\).

Значит, \(f'(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{6}) \cdot 4 = 4\cos(4x - \frac{\pi}{6})\).

Теперь подставим значение \(x_0 = \frac{\pi}{12}\) в производную:

\[ f'(\frac{\pi}{12}) = 4\cos(4 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = 4\cos(\frac{2\pi - \pi}{6}) = 4\cos(\frac{\pi}{6}) \]

Значение \(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

\[ f'(\frac{\pi}{12}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: \(2\sqrt{3}\).