6. Решить неравенство $$\log_5(2x+3) \geq -2$$

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \(\log_5(2x+3) \geq -2\) необходимо учесть область определения логарифма и свойства логарифмической функции.

1. Область определения:

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: \(2x+3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -1.5\).

2. Решение неравенства:

Так как основание логарифма \(5 > 1\), логарифмическая функция является возрастающей. Применим свойство логарифма, переходя к показательной форме:

\[ \log_5(2x+3) \geq -2 \]

\[ 2x+3 \geq 5^{-2} \]

\[ 2x+3 \geq \frac{1}{5^2} \]

\[ 2x+3 \geq \frac{1}{25} \]

Теперь решим полученное линейное неравенство:

\[ 2x \geq \frac{1}{25} - 3 \]

\[ 2x \geq \frac{1}{25} - \frac{75}{25} \]

\[ 2x \geq -\frac{74}{25} \]

\[ x \geq -\frac{74}{25 \cdot 2} \]

\[ x \geq -\frac{37}{25} \]

\[ x \geq -1.48 \]

3. Объединение с областью определения:

Мы получили, что \(x \geq -1.48\) и \(x > -1.5\).

Пересечением этих двух условий является \(x \geq -1.48\).

Ответ: \(x \in [-1.48; \infty)\).