9. Куб вписан в шар радиусом √3. Найти площадь поверхности куба.

Решение:

Когда куб вписан в шар, диагональ куба равна диаметру шара.

1. Радиус шара: \(R = \sqrt{3}\).

2. Диаметр шара: \(D = 2R = 2\sqrt{3}\).

3. Диагональ куба:

Пусть сторона куба равна \(a\). Диагональ куба \(d_k\) связана со стороной формулой \(d_k = a\sqrt{3}\).

Так как диагональ куба равна диаметру шара:

\[ a\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Разделим обе части на \(\sqrt{3}\):

\[ a = 2 \text{ (единицы длины)} \]

4. Площадь поверхности куба:

Площадь поверхности куба \(S\) равна сумме площадей шести его граней. Площадь одной грани равна \(a^2\).

\[ S = 6a^2 \]

Подставим найденное значение стороны \(a = 2\):

\[ S = 6 \cdot (2)^2 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ (квадратные единицы)} \]

Ответ: 24.