5. Образующая конуса равна 12 см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найти объём конуса.

Решение:

Дано:

• Образующая конуса \(l = 12\) см.
• Угол между образующей и плоскостью основания \(\alpha = 30^{\circ}\).

Найти: Объём конуса \(V\).

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\), где \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный образующей, высотой и радиусом основания. В этом треугольнике:

• Гипотенуза — образующая \(l = 12\) см.
• Угол при основании — \(\alpha = 30^{\circ}\).

Найдем высоту \(h\) и радиус \(R\):

\[ h = l \cos(\alpha) = 12 \cos(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

\[ R = l \sin(\alpha) = 12 \sin(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см} \]

Теперь вычислим объём конуса:

\[ V = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi (6^2) (6\sqrt{3}) = \frac{1}{3}\pi (36) (6\sqrt{3}) = 12\pi (6\sqrt{3}) = 72\pi\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: \(72\pi\sqrt{3}\) см³.