7. Решить уравнение: $$9^x + 8 · 3^x = 9$$

Решение:

Представим \(9^x\) как \((3^2)^x = (3^x)^2\). Тогда уравнение примет вид:

\[ (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 9 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \(y = 3^x\). Так как \(3^x\) всегда положительно, то \(y > 0\).

Уравнение становится квадратным относительно \(y\):

\[ y^2 + 8y - 9 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

По теореме Виета: \(y_1 + y_2 = -8\) и \(y_1 y_2 = -9\).

Подбираем корни: \(y_1 = 1\), \(y_2 = -9\).

Теперь вернемся к замене \(y = 3^x\):

1. \(3^x = 1\). Так как \(3^0 = 1\), то \(x = 0\).

2. \(3^x = -9\). Это уравнение не имеет решений, так как степень числа с положительным основанием не может быть отрицательной.

Проверим найденный корень \(x = 0\) в исходном уравнении:

\[ 9^0 + 8 · 3^0 = 1 + 8 · 1 = 1 + 8 = 9 \]

Уравнение выполняется.

Ответ: \(x = 0\).