10. Решить неравенство: $$(\frac{7}{9})^{\log_3 (12+4x-x^2)} \leq (\frac{7}{9})^{\log_3 (6x-3)}$$

Решение:

Для решения данного неравенства необходимо учесть область определения логарифмов и свойства показательной функции.

1. Область определения:

Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \(12 + 4x - x^2 > 0\)
• \(6x - 3 > 0 \Rightarrow 6x > 3 \Rightarrow x > 0.5\)

Решим первое неравенство: \(-x^2 + 4x + 12 > 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 12 < 0\). Найдем корни уравнения \(x^2 - 4x - 12 = 0\). Используя теорему Виета: \(x_1 + x_2 = 4\), \(x_1 x_2 = -12\). Корни: \(x_1 = 6\), \(x_2 = -2\). Так как ветви параболы \(y = x^2 - 4x - 12\) направлены вверх, то \(x^2 - 4x - 12 < 0\) при \(-2 < x < 6\).

Объединяем условия: \(x > 0.5\) и \(-2 < x < 6\). Область определения: \(0.5 < x < 6\).

2. Решение неравенства:

Основание показательной функции \(\frac{7}{9}\) меньше 1. Поэтому при снятии показателя степени нужно поменять знак неравенства.

\[ \log_3 (12+4x-x^2) \geq \log_3 (6x-3) \]

Так как основание логарифма \(3 > 1\), логарифмическая функция возрастает. Значит:

\[ 12+4x-x^2 \geq 6x-3 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ -x^2 + 4x - 6x + 12 + 3 \geq 0 \]

\[ -x^2 - 2x + 15 \geq 0 \]

Умножим на -1, изменив знак неравенства:

\[ x^2 + 2x - 15 \leq 0 \]

Найдем корни уравнения \(x^2 + 2x - 15 = 0\). Используя теорему Виета: \(x_1 + x_2 = -2\), \(x_1 x_2 = -15\). Корни: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -5\).

Так как ветви параболы \(y = x^2 + 2x - 15\) направлены вверх, то \(x^2 + 2x - 15 \leq 0\) при \(-5 \leq x \leq 3\).

3. Объединение с областью определения:

Мы получили, что \(-5 \leq x \leq 3\) и \(0.5 < x < 6\).

Пересечением этих интервалов является \(0.5 < x \leq 3\).

Ответ: \(x \in (0.5; 3]\).