1. Рис. 857. Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) MK; б) PE: NK; в) S_MEP: S_MKN.

a) Так как PE || NK, треугольники MPE и MKN подобны. По условию, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Следовательно, \frac{MP}{MK} = \frac{ME}{MN}. Подставляем значения: \frac{8}{MK} = \frac{6}{12}. Решаем уравнение: MK = \frac{8 * 12}{6} = 16. б) Из подобия треугольников имеем: \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MK} = \frac{ME}{MN}. Мы знаем, что \frac{ME}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}, значит \frac{PE}{NK} = \frac{1}{2}. Следовательно, отношение PE к NK равно 1:2. в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \frac{ME}{MN} = \frac{1}{2}. Значит, \frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = ( \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}. Таким образом, отношение площадей S_MEP к S_MKN равно 1:4. Ответ: а) MK = 16, б) PE:NK = 1:2, в) S_MEP:S_MKN = 1:4.