1) Сколько решений имеет система линейных уравнений? Определи без построения графика. a) {2x + 4y = -8, 3x - y = 9; b) {3x + 6y = 3, x + 2y = 1; c) {x - y = 2, x - y = -5.

Решение:

Чтобы определить количество решений системы линейных уравнений, сравним коэффициенты при переменных.

a) Система:

• \( \begin{cases} 2x + 4y = -8 \\ 3x - y = 9 \end{cases} \)
• Сравним коэффициенты: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3} \) и \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{-1} = -4 \).
• Так как \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \) ( \( \frac{2}{3} \neq -4 \) ), система имеет одно решение.

b) Система:

• \( \begin{cases} 3x + 6y = 3 \\ x + 2y = 1 \end{cases} \)
• Преобразуем второе уравнение, умножив его на 3: \( 3(x + 2y) = 3 · 1 \) \( \implies 3x + 6y = 3 \).
• Теперь система выглядит так:

• \( \begin{cases} 3x + 6y = 3 \\ 3x + 6y = 3 \end{cases} \)
• Так как уравнения совпадают, система имеет бесконечно много решений.

c) Система:

• \( \begin{cases} x - y = 2 \\ x - y = -5 \end{cases} \)
• Сравним коэффициенты: \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{1} = 1 \) и \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-1} = 1 \).
• \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = 1 \).
• Теперь сравним с \( \frac{c_1}{c_2} \): \( \frac{2}{-5} \).
• Так как \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \) ( \( 1 \neq \frac{2}{-5} \) ), система не имеет решений.

Ответ:

• a) Одно решение.
• b) Бесконечно много решений.
• c) Не имеет решений.