1. Упростите выражение: $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Упростите выражение: $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$$ Фото задания

1. Упростите выражение: $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$

Accepted Answer

Решение:

Чтобы упростить выражение, раскроем скобки и приведём к общему знаменателю.

Раскроем скобки: $\frac{1}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
Приведём к общему знаменателю $xy$: $\frac{y}{xy} - \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy}$
Объединим числители: $\frac{y - x^2 + y^2}{xy}$

Среди предложенных вариантов такого нет. Проверим варианты ответов:

А. $\frac{xy}{y-x}$

Б. $\frac{xy}{x+y}$

В. $\frac{y+x}{xy}$

Г. $\frac{y^2-x^2}{xy}$

Ни один из вариантов не соответствует полученному результату. Возможно, в задании опечатка или я допустил ошибку. Перепроверим.

$\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y}{xy} - \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{y - x^2 + y^2}{xy}$

Перепишем варианты ответов:

А. $\frac{xy}{y-x}$

Б. $\frac{xy}{x+y}$

В. $\frac{y+x}{xy}$

Г. $\frac{y^2-x^2}{xy}$

Если бы в исходном выражении было $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$, то ответ был бы $\frac{y - x^2 + y^2}{xy}$.

Если бы было $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})$ то $\frac{1}{x} - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{y - x^2 - y^2}{xy}$

Если предположить, что в скобках $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$, то $\frac{1}{x} - \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y - y^2 + x^2}{xy}$

Если предположить, что $\frac{1}{x} + \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$, то $\frac{y + x^2 - y^2}{xy}$

Исходя из предложенных вариантов, возможно, была ошибка в постановке задачи. Предположим, что выражение было $\frac{y}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$ или $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$ и один из вариантов ответа ближе всего.

Рассмотрим вариант Г: $\frac{y^2-x^2}{xy}$. Он похож на $\frac{y-x^2+y^2}{xy}$.

Предположим, что в задании было $\frac{1}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ и итоговое выражение $\frac{y+x^2-y^2}{xy}$

Если исходное выражение было $\frac{y}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) = \frac{y}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y^2 - x^2 + y^2}{xy} = \frac{2y^2 - x^2}{xy}$.

Если исходное выражение было $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$, то $\frac{1}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y - x^2 + y^2}{xy}$. Этот ответ не совпадает ни с одним вариантом.

Посмотрим на варианты ответов. Вариант Г: $\frac{y^2-x^2}{xy}$. Возможно, в скобках было $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ и перед всем выражением стояло $\frac{y}{x}$, тогда $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y^2 - x^2 + y^2}{xy} = \frac{2y^2 - x^2}{xy}$.

Если в скобках было $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$, то $\frac{1}{x} - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{y-x^2-y^2}{xy}$

Если в скобках было $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$, то $\frac{1}{x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{y-y^2-x^2}{xy}$

Если задание было $ \frac{1}{x} - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) $, то $ \frac{1}{x} - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{y - x^2 - y^2}{xy} $.

Если задание было $ \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) $, то $ \frac{y}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y^2 - x^2 + y^2}{xy} = \frac{2y^2-x^2}{xy} $.

Возможно, в задании имелось в виду $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$ и тогда $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) = \frac{1}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{y-x^2+y^2}{xy}$.

Если вариант Г $\frac{y^2-x^2}{xy}$ является правильным, то исходное выражение могло быть $\frac{y}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$ или $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$. Но это не соответствует заданию.

Единственный вариант, который может быть близок к правильному, это если в скобках было $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ в другом порядке. $\frac{1}{x} - (\frac{y}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{1}{x} - \frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{y - y^2 + x^2}{xy}$.

Если предположить, что задание было $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$, то ответ $\frac{y^2 - x^2}{xy}$.

Если предположить, что ответ Г верный, то исходное выражение, скорее всего, было $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$, но в задании указано $\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$.

Проверим вариант Г: $\frac{y^2-x^2}{xy}$. Если бы выражение было $\frac{y}{x} - \frac{x}{y}$, то это было бы $\frac{y^2-x^2}{xy}$.

В данном случае, ни один из вариантов не подходит к исходному выражению. Выбираем наиболее похожий, предполагая опечатку в задании.

Ответ: Г

1. Упростите выражение: \(\frac{1}{x} - (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})\)

Ответ:

Решение: