9. При каком значении \(t\) уравнение \(tx^2 - 6x + 1 = 0\) имеет единственный корень?

Решение:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет единственный корень в двух случаях:

1. Если \(a \ne 0\) и дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 0\).
2. Если \(a = 0\) (то есть уравнение становится линейным \(bx + c = 0\)), и \(b \ne 0\).

Рассмотрим первый случай для уравнения \(tx^2 - 6x + 1 = 0\):

Здесь \(a = t, b = -6, c = 1\). Дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot t \cdot 1 = 36 - 4t \]

Чтобы уравнение имело единственный корень, \(D = 0\):

\(36 - 4t = 0\)

\(4t = 36\)

\(t = \frac{36}{4} = 9\)

В этом случае \(t = 9 \ne 0\), так что это действительный корень.

Рассмотрим второй случай:

Если \(t = 0\), то уравнение принимает вид:

\(0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0\)

\(-6x + 1 = 0\)

\(-6x = -1\)

\[ x = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} \]

Это линейное уравнение, которое имеет единственный корень \(x = \frac{1}{6}\).

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при \(t = 9\) и при \(t = 0\).

Ответ: 9; 0