8. Докажите, что значение выражения \(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}\) является рациональным числом.

Решение:

Чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, нужно упростить его и показать, что оно представимо в виде \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые числа, \(q \ne 0\).

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю (то есть \(\sqrt{5}-1\)), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[ \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1) \cdot (\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1) \cdot (\sqrt{5}-1)} \]

В числителе получим квадрат разности:

\[ (\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \]

В знаменателе получим разность квадратов:

\[ (\sqrt{5}+1) \cdot (\sqrt{5}-1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \]

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

\[ \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} \]

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

\[ \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Полученное выражение \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) по-прежнему содержит иррациональность \(\sqrt{5}\) в числителе. Это означает, что исходное выражение не является рациональным числом.

Проверим условие задачи. Возможно, была ошибка в записи условия. Если бы требовалось доказать, что выражение \(\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{2}\) является иррациональным, или \((\sqrt{5}-1)^2 = 6 - 2\sqrt{5}\), что является иррациональным числом.

Если исходное выражение было \(\frac{(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)}\) и требуется доказать, что оно является РАЦИОНАЛЬНЫМ, то мое решение показало, что оно иррациональное. Давайте перепроверим вычисления.

\((\sqrt{5}-1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}\)

\((\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = 5 - 1 = 4\)

\(\frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{2(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\)

Число \(\sqrt{5}\) — иррациональное. Следовательно, \(3 - \sqrt{5}\) — иррациональное. И \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\) — иррациональное число.

Вывод: Значение выражения \(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}\) является иррациональным числом. Доказать, что оно рациональное, невозможно, так как оно не является таковым. Возможно, в условии задачи ошибка.