1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ диагональ AC₁ равна 10, а боковое ребро BB₁ равно √19. Найдите синус угла BD₁D.

Обозначим длины рёбер основания через a и b, а высоту — через h. По теореме Пифагора для пространственной диагонали: \(a^2+b^2+h^2=10^2\), где \(h^2=19\). Значит, \(a^2+b^2=81\).

В треугольнике \(BD_1D\) угол при D прямой, поэтому \(BD=\sqrt{a^2+b^2}=9\), а \(BD_1=\sqrt{BD^2+D_1D^2}=\sqrt{81+19}=10\). Следовательно, \(\sin\angle BD_1D=\frac{BD}{BD_1}=\frac{9}{10}\).

Ответ: \(\frac{9}{10}\).