8. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N являются серединами сторон BC и A₁B₁. Найдите косинус угла MC₁N.

Пусть ребро куба равно 1. Тогда можно взять \(M=(1,\frac12,0)\), \(C_1=(1,1,1)\), \(N=(\frac12,0,1)\). Векторы с началом в вершине угла: \(\overrightarrow{C_1M}=(0,-\frac12,-1)\) и \(\overrightarrow{C_1N}=(-\frac12,-1,0)\). Их скалярное произведение равно \(\frac12\), а длина каждого — \(\frac{\sqrt5}{2}\). Поэтому косинус угла равен \(\frac{1/2}{5/4}=\frac25\).

Ответ: \(\frac25\).