7. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между плоскостью ADA₁ и плоскостью, проходящей через середины рёбер AD, A₁D₁ и CC₁.

Пусть куб имеет ребро 1 и координаты \(A=(0,0,0)\), \(D=(0,1,0)\), \(A_1=(0,0,1)\), \(C=(1,1,0)\), \(C_1=(1,1,1)\). Середины рёбер AD и A₁D₁ имеют координаты \((0,\frac12,0)\) и \((0,\frac12,1)\), а середина CC₁ — \((1,1,\frac12)\). Эти три точки задают плоскость \(y=\frac12+\frac{x}{2}\), нормаль которой можно взять \((-1,2,0)\). Плоскость ADA₁ имеет уравнение \(x=0\) и нормаль \((1,0,0)\).

Косинус угла между нормалями равен \(\frac{1}{\sqrt5}\), поэтому тангенс угла между плоскостями равен 2.

Ответ: 2.