10. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно √10, а стороны основания равны 8. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A₁, C₁ и середину ребра AB.

Обозначим середину AB через M, а точку пересечения секущей плоскости с ребром BC — через P. В координатах \(A=(0,0,0)\), \(B=(8,0,0)\), \(C=(8,8,0)\), \(A_1=(0,0,\sqrt{10})\), \(C_1=(8,8,\sqrt{10})\), имеем \(M=(4,0,0)\). Уравнение плоскости через M, A₁ и C₁ приводит на основании к линии \(y-x+4=0\), поэтому \(P=(8,4,0)\). Сечение — трапеция MA₁C₁P с параллельными основаниями MP и A₁C₁.

Длины оснований: \(MP=4\sqrt2\), \(A_1C_1=8\sqrt2\). Боковая сторона \(MA_1=\sqrt{4^2+(\sqrt{10})^2}=\sqrt{26}\). Трапеция равнобедренная, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна \(\frac{8\sqrt2-4\sqrt2}{2}=2\sqrt2\). Высота трапеции равна \(\sqrt{26-(2\sqrt2)^2}=3\sqrt2\).

Площадь: \(S=\frac{4\sqrt2+8\sqrt2}{2}\cdot3\sqrt2=36\).

Ответ: 36.