4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер AB = 8, AD = 11, AA₁ = 6. Найдите синус угла между прямыми AB₁ и CD₁.

Направляющие векторы прямых можно взять как \(\overrightarrow{AB_1}=(8,0,6)\) и \(\overrightarrow{CD_1}=(-8,0,6)\). Их длины равны 10, а скалярное произведение равно \(-64+36=-28\). Для угла между прямыми берём модуль косинуса: \(|\cos\varphi|=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}\).

Тогда \(\sin\varphi=\sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^2}=\frac{24}{25}\).

Ответ: \(\frac{24}{25}\).